Question

【題目】如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為DD1的中點(diǎn)．求證：

（1）BD1∥平面EAC；
（2）平面EAC⊥平面AB1C．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接BD，交AC于O．連接EO，BD1．

因?yàn)镋為DD1的中點(diǎn)，所以BD1∥OE．）

又OE平面EAC，BD1平面EAC，

所以BD1∥平面EAC

（2）證明：∵BB1⊥AC，BD⊥AC．BB1∩BD=B，BB1、BD在面BB1D1D 內(nèi)

∴AC⊥平面BB1D1D

又BD1平面BB1D1D∴BD1⊥AC．

同理BD1⊥AB1，∴BD1⊥平面AB1C．

由（1）得BD1∥OE，∴EO⊥平面AB1C．

又EO平面EAC，∴平面EAC⊥平面AB1C

【解析】（1）連接BD，交AC于O．連接EO，BD1 ． 根據(jù)中位線可知BD1∥OE，又OE平面EAC，BD1平面EAC，根據(jù)線面平行的判定定理可知BD1∥平面EAC；（2）根據(jù)BB1⊥AC，BD⊥AC，BB1∩BD=B，滿足線面垂直的判定定理，則AC⊥平面BB1D1D，又BD1平面BB1D1D則BD1⊥AC，同理BD1⊥AB1 ， 從而BD1⊥平面AB1C．根據(jù)（1）可得BD1∥OE，從而EO⊥平面AB1C，又EO平面EAC，根據(jù)面面垂直的判定定理可知平面EAC⊥平面AB1C．
【考點(diǎn)精析】掌握直線與平面平行的判定和平面與平面垂直的性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直．