Question

【題目】橢圓C：（）的左、右焦點分別是、，離心率為，過且垂直于軸的直線被橢圓C截得的線段長為3．

（1）求橢圓C的方程；

（2）點P是橢圓C上除長軸端點外的任一點，連接、，設的角平分線PM交C的長軸于點，求m的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，過點P作斜率為k的直線l，使得l與橢圓C有且只有一個公共點設直線、的斜率分別為、，若，試證明為定值，并求出這個定值．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）見解析，定值為.

【解析】

（1）根據過且垂直于軸的直線被橢圓C截得的線段長為3，得到，根據離心率得到，從而得到和的值；

（2）設，表示出和的直線方程，根據題意得到到兩直線的距離相等，得到和的關系，從而得到的范圍；

（3）直線的方程為，與橢圓聯立，由，得到，表示出，從而得到，整理化簡后，得到定值.

（1）由于，

將代入橢圓方程，得，

由題意知，又，

所以，

所以橢圓C的方程為

（2）設（）

又，所以直線的方程分別為

，，

由題意知，

由于點在橢圓上，

所以，，

所以，

因為，，

所以，所以．

因此．

（3）設（），則直線的方程為

聯立

整理得.

由題意得，即.

又，所以，

故.

而，

所以，

因此為定值，這個定值為.