Question

【題目】某學習軟件以數學知識為題目設置了一項闖關游戲，共有15關，每過一關可以得到一定的積分，現有三種積分方案供闖關者選擇.方案一：每闖過一關均可獲得40積分；方案二：闖過第一關可獲得5積分，后面每關的積分都比前一關多5；方案三：闖過第一關可獲得0.5積分，后面每關的積分都是前一關積分的2倍.若某關闖關失敗則停止游戲，最終積分為闖過的各關的積分之和，設三種方案闖過n（且）關后的積分之和分別為，要求闖關者在開始前要選擇積分方案．

（1）求出的表達式；

（2）為獲得盡量多的積分，如果你是一個闖關者，試分析這幾種積分方案該如何選擇？小明通過試驗后覺得自己至少能闖過12關，則他應該選擇第幾種積分方案？

Answer 1

【答案】（1）；；（2）見解析，小明應該選擇方案三.

【解析】

（1）根據題意，分別得到各方案所對應的數列，從而得到；

（2）令，分別得到的范圍，結合題意中的，從而做出判斷.

（1）按方案一闖過各關所得積分構成常數數列，故；

按方案二闖過各關所得積分構成首項為5，公差為5的等差數列，故；

按方案三闖過各關所得積分構成首項為，公比為2的等比數列，故．

（2）令，即，解得，

而當時，，

又因為且，故恒成立，

故方案二不予考慮.

令，即，解得，

故有，當時，；當，，

故當能闖過的關數小于10時，應選擇方案一；

當能闖過的關數大于等于10時，應選擇方案三.

小明應該選擇方案三.