Question

已知橢圓.,分別為橢圓的左,右焦點,, 分別為橢圓的左,右頂點.過右焦點且垂直于軸的直線與橢圓在第一象限的交點為.
(1) 求橢圓的標準方程;
(2) 直線與橢圓交于,兩點, 直線與交于點.當直線變化時, 點是否恒在一條定直線上?若是,求此定直線方程;若不是,請說明理由.

Answer 1

(1), . 點在橢圓上,
,    
  或(舍去). .
橢圓的方程為.                          ………4分
(2)當軸時,,, 又,
, , 聯立解得.
當過橢圓的上頂點時, ,,
, ,聯立解得.    
若定直線存在,則方程應是.                           ………8分 
下面給予證明.
把代入橢圓方程,整理得,
成立, 記, ,則, .
,
當時,縱坐標應相等, , 須
須, 須
而成立.
綜上,定直線方程為 

(1)根據條件易求c,然后根據點M在橢圓上建立方程即可求解。
（2）本題是探索性問題，應先假設存在，然后要對直線出現的各種情況討論，分類解決。