Question

已知f（x）=x²+|x-a|+1，g（x）=2x+t．
（1）若f（x）為偶函數，求a的值；
（2）當a=2時，若f（x）的圖象恒在g（x）圖象上方，求t的取值范圍；
（3）求f（x）的最小值．

Answer 1

考點：函數的最值及其幾何意義,函數奇偶性的判斷

專題：綜合題

分析：①由偶函數用特值法確定a值，②由圖象特征化為恒成立問題，③要進行討論．

解答： 解（1）∵f（x）為偶函數，
∴f（-1）=f（1），
    解得：a=0．
（2）∵f（x）的圖象恒在g（x）圖象上方，
∴x²+|x-2|+1＞2x+t恒成立，
     即t＜x²+|x-2|+1-2x恒成立，
     令g（x）=x²+|x-2|+1-2x，①x≥a時，f（x）=x²+x-a+1
     則g(x)min=

3

4

，因此t＜

3

4

．
（3）①x≥a時，f（x）=x²+x-a+1=(x+

1

2

)2-a+

3

4

，
②x≤a時，f（x）=x²-x+a+1=(x-

1

2

)2+a+

3

4

．
a≥

1

2

時，①中f(x)min=a2+1；②中f(x)min=a+

3

4

又因為a2+1≥a+

3

4

．則f(x)min=a+

3

4

．
同理，a≤-

1

2

時，f(x)min=-a+

3

4

．
-

1

2

＜a＜

1

2

時，f(x)min=a2+1

點評：此題綜合性較強，相對較難．第一問特值法是常規題，第二問由數形結合思想轉化為恒成立問題，再轉化為最值；第三問應分類討論．