Question

在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且a、b、c成等比數列，若關于角B的不等式cos2B-2mcosB+2＞0恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：等比數列的性質,正弦定理

專題：計算題,等差數列與等比數列

分析：根據余弦定理表示出cosB，再根據基本不等式，可得

1

2

≤cosB＜1．將關于B的表達式化簡，分離參數，利用基本不等式，可得結論．

解答： 解：∵b²=ac
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

，
當且僅當a=b=c時，cosB=

1

2

，
∴

1

2

≤cosB＜1
cos2B-2mcosB+2=2cos²B-2mcosB+1＞0
∴2m＜2cosB+

1

cosB

，
∵

1

2

≤cosB＜1，
∴2cosB+

1

cosB

的最小值為2

2

∴2m＜2

2

，
∴m＜

2

故m的取值范圍是（-∞，

2

）．

點評：本題主要考查余弦定理和基本不等式的應用．對三角函數求解得問題時要先對其原函數進行化簡．