Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD 中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB與△PAD 都是邊長為2的等邊三角形，E 是BC的中點．
（Ⅰ）證明：平面AE∥平面 PCD；
（Ⅱ）求PAB與平面 PCD 所成二面角的大小．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明：，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，E 是BC的中點． 所以AD∥CE，且AD=CE
所以四邊形ADCE是平行四邊形，
所以AE∥CD，
AE平面PCD，CD平面PCD，
∴AE∥平面 PCD；
（Ⅱ）連接DE，BD，設AE∩BD=O，連接PO，則四邊形ABED是正方形，所以AE⊥BD，
因為，△PAB與△PAD 都是邊長為2的等邊三角形，PD=PB=2，O是BD的中點 所以PO⊥BD，
則PO= ，又OA= ，PA=2，所以PO⊥AO，
因為BD∩AE=O，所以PO⊥平面ABCD，
建立如圖所示的坐標系，
則P（0，0， ），A（- ，0，0），B（0， ，0），E（ ），D（0，﹣ ），
所以 =（ ）， ， ， =（ ），
設 =（x，y，z）是平面PAB的法向量，則 可得 ，令x=1，則 =（0，﹣1，﹣1）．
設 =（x，y，z）是平面PCD的法向量，則 可得 ，
令y=1，則 =（0，1，﹣1）．
所以cos = =0．
所以平面PAB與平面 PCD 所成二面角的大小為90°．

【解析】（Ⅰ）證明AD∥CE，且AD=CE，推出AE∥CD，然后證明AE∥平面 PCD；（Ⅱ）連接DE，BD，證明AE⊥BD，PO⊥BD，PO⊥AO，PO⊥平面ABCD，建立坐標系，求出相關點坐標，求出平面PAB的法向量，平面PCD的法向量，利用空間向量的數量積求解平面PAB與平面 PCD 所成二面角的大小．
【考點精析】本題主要考查了直線平面平行的判定的相關知識點，需要掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行才能正確解答此題．