Question

在棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為棱CC₁的中點．
（Ⅰ）求證：AD₁∥平面DBC₁；
（Ⅱ）求AE與平面ABCD所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲證AD₁∥平面DBC₁，根據直線與平面平行的判定定理可知只需證AD₁與平面DBC₁內一直線平行，而BC₁∥AD₁，BC₁?平面DBC₁，AD₁?平面DBC₁，滿足定理所需條件；
（Ⅱ）連接AC，由正方體的幾何性質可得AC即為AE在底面ABCD上的射影，則∠EAC即為AE與平面ABCD所成角，在Rt△AEC中，求出此角的余弦值即可．

解答：證明：（Ⅰ）∵AB∥C₁D₁，AB=C₁D₁
∴ABC₁D₁是平行四邊形，則BC₁∥AD₁．
BC₁?平面DBC₁，AD₁?平面DBC₁，
∴AD₁∥平面DBC₁；
（Ⅱ）連接AC，由正方體的幾何性質可得AC即為AE在底面ABCD上的射影，
則∠EAC即為AE與平面ABCD所成角
在Rt△AEC中，EC⊥AC，AC=

2

a，EC=

a

2

?AE=

3

2

a
則cos∠EAC=

AC

AE

=

2

3

2

所以AE與平面ABCD所成角的余弦值為

2

3

2

點評：本題主要考查了線面平行的判定，線面所成角的度量，同時考查了空間想象能力，運算求解能力，推理論證能力，屬于中檔題．