Question

在棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分別為A₁B和CC₁的中點．求：

（Ⅰ）直線MN和BC所成角的正切值；
（Ⅱ）直線A₁B和平面ABCD所成角的大小；
（Ⅲ）點N到直線AB的距離．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取BB₁中點E，連接MN，NE，ME，根據中點得EN∥BC，然后在RT△MNE中求出tan∠MNE即可；
（Ⅱ）根據原圖是棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，可直接得到∠A₁BA即為直線A₁B和平面ABCD所成角，再求出∠A₁BA即可；
（Ⅲ）連接BN，根據原圖是棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，先得到 AB⊥面BCC₁B₁，進而得 AB⊥BN，得BN的長即為點N到直線AB的距離，然后在RT△BCN中，求出BN即可．

解答：解：取BB₁中點E，連接MN，NE，ME．
（Ⅰ）∵E，N分別為BB₁，CC₁
∴EN∥BC，
∴∠MNE或其補角即為直線MN和BC所成角，
又∵M，E也分別為對應邊的中點，
所以  ME∥AB．
又因為AB⊥BC．
∴ME⊥EN，在RT△MNE中，tan∠MNE=

ME

NE

=

a 2

a

=

1

2

．
故直線MN和BC所成角的正切值為 

1

2

．
（Ⅱ）∵原圖是棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁
∴∠A₁BA即為直線A₁B和平面ABCD所成角．
又因為  A₁A⊥AB，A₁A=AB．
∴∠A₁BA=45°．
故直線A₁B和平面ABCD所成角為45°
（Ⅲ）連接BN，
∵原圖是棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁
所以 AB⊥面BCC₁B₁，
∴AB⊥BN．
故BN的長即為點N到直線AB的距離，
在RT△BCN中，BN=

BC2+CN2

=

a2+( a 2 )2

=

5

2

a．
所以點N到直線AB的距離為

5

2

a

點評：本題是對立體幾何知識的綜合考查，涉及到線線角以及線面角的求法和點到直線的距離問題，在求直線和直線所成角時，一般是通過平移，把問題轉化到在一個三角形中求兩邊的夾角問題．