Question

設向量

a

=（

3

sinx，sinx），

b

=（cosx，sinx），x∈[0，

π

2

]
（1）若|

a

|=|

b

|，求x的值
（2）設函數f（x）=

a

•

b

，求f（x）的取值范圍．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：平面向量及應用

分析：（1）根據|

a

|=|

b

|，就能得到關于x的方程，解方程即可．
（2）根據向量積的坐標運算求得f（x）=

3

sinxcosx+sin2x，根據二倍角公式，兩角差的正弦公式化簡f（x）=sin(2x-

π

6

)+

1

2

，根據x的取值，從而求出f（x）的取值范圍．

解答： 解：（1）由|

a

|=|

b

|得：3sin²x+sin²x=cos²x+sin²x=1；
∴sin2x=

1

4

，∵x∈[0，

π

2

]，∴sinx=

1

2

，∴x=

π

6

．
（2）f（x）=

3

sinxcosx+sin2x=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x+

1

2

=sin(2x-

π

6

)+

1

2

，
∵x∈[0，

π

2

]，∴2x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]；
∴sin(-

π

6

)≤sin(2x-

π

6

)≤sin

π

2

∴0≤f（x）≤

3

2

；
∴f（x）的取值范圍是[0，

3

2

]．

點評：熟練掌握二倍角的正余弦公式，兩角差的正弦公式是求解本題的關鍵．