Question

如圖，已知以F₁（-2，0），F₂（2，0）為焦點的橢圓上有點Q，三角形QF₁F₂的周長為4（

2

+1）．一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，設P為該雙曲線上異于頂點的任一點，直線PF₁和PF₂與橢圓的交點分別為A、B和C、D．
（1）求橢圓和雙曲線的標準方程；
（2）設直線PF₁、PF₂的傾斜角分別為α，β，證明tanβ•tanα=1；
（3）設m=

1

|AB|

+

1

|CD|

，請問m是否為定值？若是，求出m的值；若不是，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由題意知，橢圓中c=2，2a+2c=4（

2

+1），由此能求出橢圓的標準方程．由橢圓的焦點坐標為（±2，0），能求出該雙曲線的標準方程．
（2）設點P（x₀，y₀），則k1=

y0

x0+2

，k2=

y0

x0-2

，則k₁•k₂=

y0

x0+2

•

y0

x0-2

=

y02

x02-4

，由此能證明tanβ•tanα=k₁•k₂=

y02

x02-4

=1．
（3）假設存在實數m，使得m=

1

|AB|

+

1

|CD|

成立，則|AB|+|CD|=m|AB|•|CD|成立，設直線AB的方程為y=k（x+2），直線CD的方程為y=

1

k

(x-2)，由方程組

y=k(x+2) x2 8 + y2 4 =1

，消y得：（2k²+1）x²+8k²x+8k²x+8k²-8=0，由韋達定理得AB=

4 2 (1+k2)

2k2+1

，CD=

4 2 (1+k2)

k2+2

，由|AB|+|CD|=m|AB|•|CD|，求出存在常數m=

3 2

8

，使得m=

1

|AB|

+

1

|CD|

成立．

解答： （1）解：由題意知，橢圓中c=2，
又2a+2c=4（

2

+1），解得a=2

2

，
∴b²=a²-c²=4，
∴橢圓的標準方程為

x2

8

+

y2

4

=1．
∴橢圓的焦點坐標為（±2，0），
∵雙曲線為等軸雙曲線，且頂點是該橢圓的焦點，
∴該雙曲線的標準方程為

x2

4

-

y2

4

=1．
（2）證明：設點P（x₀，y₀），則k1=

y0

x0+2

，k2=

y0

x0-2

，
所以k₁•k₂=

y0

x0+2

•

y0

x0-2

=

y02

x02-4

，
又點P（x₀，y₀）在雙曲線上，所以有

x02

4

-

y02

4

=1，
即y02=x02-4，
設直線PF₁、PF₂的傾斜角分別為α，β，
∴tanβ•tanα=k₁•k₂=

y02

x02-4

=1．
（3）假設存在實數m，使得m=

1

|AB|

+

1

|CD|

成立，則|AB|+|CD|=m|AB|•|CD|成立，
則由（2）知k₁•k₂=1，所以設直線AB的方程為y=k（x+2），
則直線CD的方程為y=

1

k

(x-2)，
由方程組

y=k(x+2) x2 8 + y2 4 =1

，消y得：（2k²+1）x²+8k²x+8k²x+8k²-8=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則由韋達定理得：x₁+x₂=

-8k2

2k2+1

，x1x2=

8k2-8

2k2+1

，
∴AB=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

4 2 (1+k2)

2k2+1

，
同理可得CD=

1+( 1 k )2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

4 2 (1+ 1 k2 )

2• 1 k2 +1

=

4 2 (1+k2)

k2+2

，
又因為|AB|+|CD|=m|AB|•|CD|，
所以有m=

1

|AB|

+

1

|CD|

=

2k2+1

4 2 (1+k2)

+

k2+2

4 2 (1+k2)

=

3k2+3

4 2 (1+k2)

=

3 2

8

，
∴存在常數m=

3 2

8

，使得m=

1

|AB|

+

1

|CD|

成立．

點評：本題考查橢圓方程和雙曲線方程的求法，考查兩直線傾斜角正切值乘積為1的證明，考查滿足條件的實數值的求法，解題時要認真審題，注意函數與方程思想的合理運用．