Question

【題目】如圖， 為半圓 的直徑，點 是半圓弧上的兩點， ， ．曲線 經過點 ，且曲線 上任意點 滿足： 為定值.

（Ⅰ）求曲線 的方程；
（Ⅱ）設過點 的直線 與曲線 交于不同的兩點 ，求 面積最大時的直線 的方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）根據橢圓的定義，曲線 是以 為焦點的橢圓，其中 ， .
，

， ，曲線 的方程為 ；
（Ⅱ）設過點 的直線 的斜率為 ，則 .
由 得 ，
，
，
又 點 到直線 的距離 ， 的面積 .
令 ，則 .
當且僅當 ，即 時， 面積取最大值 .
此時直線 的方程為 或 ．
【解析】(1)由條件先求出c,再由定義求出a,從而 求出橢圓的方程;
(2)設出過點D的直線的方程,代入到橢圓方程中,消去y,得關于x的一元二次方程,結合韋達定理和弦長公式將三角形的面積表示為關于k的函數式,由均值不等式求最值.