Question

【題目】已知數列{an}的各項均為正數，其前n項和為Sn ， 且滿足a1=1，an+1=2 +1，n∈N* ．
（1）求a2的值；
（2）求數列{an}的通項公式；
（3）是否存在正整數k，使ak ， S2k﹣1 ， a4k成等比數列？若存在，求k的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為a1=1，an+1=2 +1，

所以a2=2 +1=2+1=3

（2）解：由an+1=2 +1得， ，

所以當n≥2時， ，

兩個式子相減得，4an=（an+1+an﹣2）（an+1﹣an），

化簡得，（an+1﹣an﹣2）（an+1+an）=0，

因為數列{an}的各項均為正數，

所以an+1﹣an﹣2=0，即an+1﹣an=2，

所以數列{an}是以1為首項、2為公差的等差數列，

則an=1+（n﹣1）×2=2n﹣1

（3）解：假設存在正整數k使ak，S2k﹣1，a4k成等比數列，

則 ，

所以 =（2k﹣1）（8k﹣1），

（2k﹣1）3=8k﹣1，化簡得4k2﹣6k﹣1=0，

解得 ， ，

因為k是正整數，所以不存在正整數k滿足條件

【解析】（1）將n=1代入式子即可求解；（2）由an+1=2 +1得 ，令n取n﹣1代入上式可得 ，兩個式子相減后進行化簡，利用等差數列的定義判斷，再由等差數列的通項公式求出an；（3）先假設存在正整數k滿足條件，利用等比中項的性質、等差數列的前n項和公式、通項公式列出方程，化簡后求出k的值，再由k是正整數進行判斷．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解等比關系的確定的相關知識，掌握等比數列可以通過定義法、中項法、通項公式法、前n項和法進行判斷，以及對數列的通項公式的理解，了解如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．