Question

【題目】已知，為橢圓的左、右頂點，為其右焦點，是橢圓上異于，的動點，且面積的最大值為.

（1）求橢圓的方程及離心率；

（2）直線與橢圓在點處的切線交于點，當點在橢圓上運動時，求證：以為直徑的圓與直線恒相切.

Answer 1

【答案】（1），；（2）證明見解析

【解析】

（1）根據條件和橢圓的性質，可列方程組，解出，即得；（2）設直線的方程為，由直線方程和橢圓方程聯立，求出點的坐標，再根據題意求出以為直徑的圓，判斷該圓是否與直線恒相切.

（1）由題意可設橢圓的方程為，.

由題意知，解得，.

故橢圓的方程為，離心率為.

（2）證明：由題意可設直線的方程為.

則點坐標為，中點的坐標為.

由得.

設點的坐標為，則.

所以，.

因為點坐標為，

當時，點的坐標為，直線軸，點的坐標為.

此時以為直徑的圓與直線相切.

當時，則直線的斜率.

所以直線的方程為.

點到直線的距離.

又因為，所以.

故以為直徑的圓與直線相切.

綜上得，當點在橢圓上運動時，以為直徑的圓與直線恒相切.