Question

【題目】如圖，設拋物線與拋物線在第一象限的交點為，點A，B分別在拋物線，上，，分別與，相切.

（1）當點M的縱坐標為4時，求拋物線的方程；

（2）若，求面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）當點M的縱坐標為4時，可得M的橫坐標，代入方程可求，從而得到拋物線的方程；

（2）利用弦長公式求出，表示出面積，結合單調性可得面積的范圍.

（1）由條件，且，解得，即點，

代入拋物線的方程，得，所以，

則拋物線的方程為.

（2）將點代入拋物線的方程，得.

設點，直線方程為，

聯立方程，消去y，化簡得，

則，解得，

從而直線的斜率，

解得，即點.

設點，直線方程為，

聯立方程，消去x，化簡得，

則，代入，解得，

從而直線的斜率為

解得，即點.

，

點到直線，即的距離為

，

故面積為，而，

所以面積的取值范圍是.