Question

【題目】設(shè)函數(shù)，其中．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；

（Ⅱ）討論的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（Ⅲ）若在y軸右側(cè)的圖象都不在x軸下方，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）答案不唯一，具體見(jiàn)解析（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再求出在處的切線的斜率，最后利用點(diǎn)斜式求出切線方程；

（Ⅱ）求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，通過(guò)換元法，導(dǎo)函數(shù)的解析式是二次項(xiàng)系數(shù)不確定的多項(xiàng)式函數(shù)，根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)等于零、大于零、小于零，結(jié)合一元二次方程根的判別式，分類討論求出函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（Ⅲ）由題設(shè)可知，．因此有當(dāng)時(shí)，，

根據(jù)（Ⅱ）可知函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行分類討論；

①當(dāng)時(shí)，利用函數(shù)的單調(diào)性可以證明出成立．

②當(dāng)時(shí)，利用根與系數(shù)關(guān)系，和函數(shù)的單調(diào)性可以得到．

③當(dāng)時(shí)，利用放縮法、構(gòu)造新函數(shù)，可以證明當(dāng)時(shí)，不恒成立，最后確定a的取值范圍.

解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，，

所以，．

曲線在處的切線方程為，即．

（Ⅱ）由已知可得，

設(shè)，則，記，

（1）時(shí)，，函數(shù)在R上為增函數(shù)，沒(méi)有極值點(diǎn)．

（2）當(dāng)時(shí)，判別式，

①若時(shí)，，，函數(shù)在R上為增函數(shù)，沒(méi)有極值點(diǎn)．

②若時(shí)，，由，拋物線的對(duì)稱軸為，

可知的零點(diǎn)均為正數(shù)．

不妨設(shè)的兩個(gè)不等正實(shí)數(shù)根為，且，

則，

所以當(dāng)，，單調(diào)遞增，

當(dāng)，，單調(diào)遞減，

當(dāng)，，單調(diào)遞增，

此時(shí)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)．

（3）若時(shí)，由，

可知的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且，

當(dāng)，，單調(diào)遞增，

當(dāng)，，單調(diào)遞減，

此時(shí)函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn)．

綜上：當(dāng)時(shí)無(wú)極值點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)有一個(gè)極值點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)有兩個(gè)極值點(diǎn)．

（Ⅲ）由題設(shè)可知，．

時(shí)，，

由（Ⅱ）知：

①當(dāng)時(shí)，函數(shù)在R上為增函數(shù)，

，所以成立；

②當(dāng)時(shí)，，，所以，

當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，又，

所以，，等價(jià)于，即．

所以只需，即．

所以，當(dāng)時(shí)，也滿足，；

③當(dāng)時(shí)，

，

考察函數(shù)，

顯然存在，使得，

即存在，使得，不滿足，

綜上所述，a的取值范圍是