Question

直線y=kx+1與曲線y=lnx相切，則k的值為

 

．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：導數的綜合應用

分析：欲k的值，只須求出切線的斜率的值即可，故先利用導數求出在切處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．

解答： 解：∵y=lnx，
∴y′=f′（x）=

1

x

，
設切點為（m，lnm），得切線的斜率為k=f′（m）=

1

m

，
即曲線在點（m，lnm）處的切線方程為：
y-lnm=

1

m

（x-m）．即y=

1

m

x+lnm-1，
∵直線y=kx+1與曲線y=lnx相切，
∴

1

m

=k，且lnm-1=1，
即lnm=2，則m=e²，
則k=

1

e2

．
故答案為：

1

e2

．

點評：本小題主要考查直線的方程、導數的幾何意義、利用導數研究曲線上某點切線方程等基礎知識，考查運算求解能力．設出切點坐標是解決本題的關鍵．