Question

【題目】設集合、均為實數集的子集，記：；

（1）已知，，試用列舉法表示；

（2）設，當，且時，曲線的焦距為，如果，，設中的所有元素之和為，對于滿足，且的任意正整數、、，不等式恒成立，求實數的最大值；

（3）若整數集合，則稱為“自生集”，若任意一個正整數均為整數集合的某個非空有限子集中所有元素的和，則稱為“的基底集”，問：是否存在一個整數集合既是自生集又是的基底集？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）存在，理由見解析

【解析】

（1）根據新定義，結合已知中的集合、，可得答案；

（2）曲線表示雙曲線，進而可得，，則，結合且及基本不等式，可得進而得到答案；

（3）設整數集合，其中為斐波那契數列，即，，，

①由得：，可得是自生集；

②對于任意，對于任一正整數，存在集合的一個有限子集，使得，（，），再用數學歸納法證明集合又是的基底集．

解：（1）∵；

當，時，

；

（2）曲線，即，在時表示雙曲線，

故，

∴，

∵，

∴中的所有元素之和為，

∴，

∵，且，

∴，

∴，

即實數的最大值為；

（3）存在一個整數集合既是自生集又是的基底集，理由如下：

設整數集合，其中為斐波那契數列，

即，，，

下證：整數集合既是自生集又是的基底集，

①由得：，

故是自生集；

②對于任意，對于任一正整數，存在集合的一個有限子集，

使得，（，），

當時，由，，，，知結論成立；

假設結論對時成立，

則時，只須對任何整數討論，

若，則，，

故，，

由歸納假設，可以表示為集合中有限個絕對值小于的元素的和．

因為，

所以可以表示為集合中有限個絕對值小于的元素的和．

若，則結論顯然成立．

若，則，，

由歸納假設知，可以表示為集合中有限個絕對值小于的元素的和．

所以，當時結論也成立；

由于斐波那契數列是無界的，

所以，任一個正整數都可以表示成集合的一個有限子集中所有元素的和．

因此集合又是的基底集．