【題目】如圖,楔形幾何體
由一個三棱柱截去部分后所得,底面
側面
,
,楔面
是邊長為2的正三角形,點
在側面的射影是矩形的中心
,點
在
上,且
（1）證明：
平面
；
（2）求楔面與側面所成二面角的余弦值.
【答案】（1）見解析；（2）
.
【解析】
（1）做輔助線連接
交
于
,連接
,
.根據
平面
,得到平面
平面,又平面
平面,則平面
平面
,
利用勾股定理計算出
,再根據
,
,
,得
,
,則可證得
平面
.
（2）法一：向量法：建立如圖所示的空間直角坐標系,列出各點的坐標求出向量
,
.求出兩個平面的法向量,利用余弦公式即可求出楔面
與側面所成二面角的余弦值.
法二：幾何法：取
的中點
,連接
,
.
即為楔面與側面所成二面角的平面角.求出、、各邊長度,即可求出
,則得到楔面與側面所成二面角的余弦值.
解：（1）證明：如圖,連接交于,連接,.
則是的中點,
.
因為平面,所以平面平面,
又平面平面,
所以平面平面,
根據題意,四邊形
和
是全等的直角梯形,
三角形
和
是全等的等腰直角三角形,
所以
,
.
在直角三角形
中,,
所以,,,
于是
,
,
所以,.
因為
平面,
,
所以平面.
（2）法一：向量法：以
為坐標原點,
,
所在直線分別為
軸、
軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,則
,
,
,,.
設平面的一個法向量為
,
則
,取
,
平面的一個法向量為
,
所以
,
所以楔面與側面所成二面角的余弦值為.
法二：幾何法：如圖,取的中點,連接,.
即為楔面與側面所成二面角的平面角.
在直角三角形
中,
,
,
所以
,
所以楔面與側面所成二面角的余弦值為.
教材全解字詞句篇系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，曲線
的參數方程是
(
為參數)，以原點
為極點， 
軸正半軸為極軸，建立極坐標系，直線
的極坐標方程為
.
(Ⅰ)求曲線
的普通方程與直線
的直角坐標方程；
(Ⅱ)已知直線
與曲線
交于
， 
兩點，與
軸交于點
，求
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓與拋物線
有一個相同的焦點，且該橢圓的離心率為
，
（Ⅰ）求該橢圓的標準方程：
（Ⅱ）求過點
的直線與該橢圓交于A，B兩點，O為坐標原點，若
，求
的面積.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】(多選)已知函數
,其中正確結論的是( )
A.當
時,函數
有最大值.
B.對于任意的
,函數一定存在最小值.
C.對于任意的
,函數是
上的增函數.
D.對于任意的,都有函數
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設函數
．
（1）若
，
，求函數
的極值；
（2）若
是函數的一個極值點，試求出
關于
的關系式（即用表示），并確定
的單調區間；（提示：應注意對的取值范圍進行討論）
（3）在（2）的條件下，設
，函數
，若存在
使得
成立，求的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】我國古代數學專著《九章算術》中有一個“兩鼠穿墻題”，其內容為：“今有垣厚五尺，兩鼠對穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半．問何日相逢？各穿幾何？”如圖的程序框圖源于這個題目，執行該程序框圖，若輸入x=20，則輸出的結果為（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，底面
是梯形，
,
,
是正三角形，
為
的中點，平面
平面
．
（1）求證：
平面
；
（2）在棱
上是否存在點
，使得二面角
的余弦值為
？若存在，求出
的值；若不存在，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知數列
的各項均為正數，
，且對任意
,都有
，數列前n項的和
.
（1）若數列是等比數列，求
的值和
；
（2）若數列是等差數列，求
和的關系式；
（3）
，當
時，求證: 
是一個常數.
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