Question

【題目】對于定義在上的函數，若函數滿足：①在區間上單調遞減；②存在常數，使其值域為，則稱函數為的“漸近函數”.

（1）設，若在上有解，求實數取值范圍；

（2）證明：函數是函數，的漸近函數，并求此時實數的值；

（3）若函數，，，證明：當時，不是的漸近函數.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析，；（3）見解析

【解析】

（1）利用參變分離，得到，再利用基本不等式得到的取值范圍；（2）令，求出的單調性和值域，得到結論；（3）令，求導得到，利用導數研究的單調性和零點，從而得到的正負，判斷出的單調性，得到結論.

（1）由，即，

因為

所以

因為，所以，

所以，

當且僅當，即時，等號成立.

所以.

（2）令

所以在上單調遞減，

所以

當時，，

所以值域為

所以是的漸近函數，且.

（3）令，

則

設

則

，

所以在上單調遞增，

即在上單調遞增，

又時，，故的值域為，

因為，所以，，

所以存在，使得，

所以時，單調遞減，時，單調遞增，

所以在上不是單調遞減，

故當時，不是的漸近函數.