Question

（本小題滿分12分）設某物體一天中的溫度是時間的函數：，其中溫度的單位是，時間單位是小時，表示12:00，取正值表示12:00以后．若測得該物體在8:00的溫度是，12:00的溫度為，13:00的溫度為，且已知該物體的溫度在8:00和16:00有相同的變化率．
（1）寫出該物體的溫度關于時間的函數關系式；
（2）該物體在10:00到14:00這段時間中（包括10:00和14:00），何時溫度最高，并求出最高溫度；
（3）如果規定一個函數在區間上的平均值為，求該物體在8:00到16:00這段時間內的平均溫度．

Answer 1

（1）（2）11:00和14:00時，該物體的溫度最高，最高溫度為（3）在8:00到16:00這段時間的平均溫度為

解析試題分析：（1）根據條件，得，，，，
可以解得，
．                                              ……4分
（2），
當時，；
當時，．
在區間上單調遞增，在上單調遞減，即是極大值點．……8分
，
在10:00到14:00這段時間中，11:00和14:00時，該物體的溫度最高，最高溫度為．
（3）按規定，平均溫度為，
即該物體在8:00到16:00這段時間的平均溫度為．                       ……12分
考點：本小題主要考查函數的實際應用、利用導數求最值和定積分的計算，考查學生應用數學知識解決實際問題的能力和由實際問題向數學問題轉化的能力以及求解計算能力.
點評：利用導數求解實際生活中的最值問題是高考常考考點，主要是函數模型的建立，對函數解析式的求導，判斷單調性，求最值等.問題背景雖然各不相同，但函數模型有限，要總結規律，找出共同的分析思路和一般的解決方法，做到思路清晰，解法成熟，胸有成竹.