Question

【題目】某廠用鮮牛奶在某臺設備上生產A，B兩種奶制品．生產1噸A產品需鮮牛奶2噸，使用設備1小時，獲利1000元；生產1噸B產品需鮮牛奶1.5噸，使用設備1.5小時，獲利1200元．要求每天B產品的產量不超過A產品產量的2倍，設備每天生產A，B兩種產品時間之和不超過12小時．假定每天可獲取的鮮牛奶數量W（單位：噸）是一個隨機變量，其分布列為

W	12	15	18
P	0.3	0.5	0.2

該廠每天根據獲取的鮮牛奶數量安排生產，使其獲利最大，因此每天的最大獲利Z（單位：元）是一個隨機變量．
（1）求Z的分布列和均值；
（2）若每天可獲取的鮮牛奶數量相互獨立，求3天中至少有1天的最大獲利超過10000元的概率．

Answer 1

【答案】
（1）解：設每天A，B兩種產品的生產數量分別為x，y，相應的獲利為z，則有

，①如圖1，目標函數為：z=1000x+1200y．

當W=12時，①表示的平面區域如圖1，三個頂點分別為A（0，0），B（2.4，4.8），C（6，0）．

將z=1000x+1200y變形為 ，

當x=2.4，y=4.8時，直線l： 在y軸上的截距最大，

最大獲利Z=Zmax=2.4×1000+4.8×1200=8160．

當W=15時，①表示的平面區域如圖2，三個頂點分別為A（0，0），B（3，6），C（7.5，0）．．

將z=1000x+1200y變形為 ，

當x=3，y=6時，直線l： 在y軸上的截距最大，

最大獲利Z=Zmax=3×1000+6×1200=10200．

當W=18時，①表示的平面區域如圖3，四個頂點分別為A（0，0），B（3，6），C（6，4），D（9，0）．

將z=1000x+1200y變形為： ，

當x=6，y=4時，直線l：y=﹣56x+z1200在y軸上的截距最大，最大獲利Z=Zmax=6×1000+4×1200=10800．

故最大獲利Z的分布列為：

Z	8160	10200	10800
P	0.3	0.5	0.2

因此，E（Z）=8160×0.3+10200×0.5+10800×0.2=9708

（2）解：由（Ⅰ）知，一天最大獲利超過10000元的概率P1=P（Z＞10000）=0.5+0.2=0.7，

由二項分布，3天中至少有1天最大獲利超過10000元的概率為：

．

【解析】（1）設每天A，B兩種產品的生產數量分別為x，y，相應的獲利為z，列出可行域，目標函數，通過當W=12時，當W=15時，當W=18時，分別求出目標函數的最大獲利，然后得到Z的分布列．求出期望即可．（2）判斷概率類型是二項分布，然后求解所求概率即可．