Question

【題目】若函數恰有兩個不同極值點.

（1）求的取值范圍；

（2）求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】

（1）利用轉化思想將已知轉化為方程有兩個不同的實根，令，利用導數分析其單調性與圖形的大致走勢，最后利用數形結合求得答案；

（2）由題是方程的兩個不同的根，不妨設，利用分析法欲證只需證明成立，令，構造函數證得即可.

（1）由函數，可得，且定義域為，

因為函數恰有兩個不同極值點，等價于是方程的兩個不同的根，即方程有兩個不同的實根，

令，則，顯然當時，，函數單調遞增；當時，，函數單調遞減，

所以，

又因為當時，，所以

故的取值范圍為.

（2）由（1）可知是方程的兩個不同的根，即，

不妨設，則

欲證，只需證，即證，即證，即證，

令，構造函數，則在時恒成立，所以函數單調遞增，即

所以，故成立，

所以成立.