Question

設定義在R上的函數f（x）滿足（1）當m，n∈R時，f（m+n）=f（m）•f（n）；（2）f（0）≠0；（3）當x＜0時，f（x）＞1，則在下列結論中：
①f（a）•f（-a）=1；
②f（x）在R上是遞減函數；
③存在x₀，使f（x₀）＜0；
④若f(2)=

2

，則f(

1

4

)=

1

4

，f(

1

6

)=

1

6

；
正確結論的個數是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：利用抽象函數的條件，利用賦值法分別進行求值判斷．①求出f（0）=1即可．②利用函數的單調性的定義，進行判斷．③利用函數的奇偶性進行判斷．④利用賦值法進行求值．

解答：解：令x=y=0，則f（0+0）=f（0）f（0）=f（0），因為f（0）≠0，所以f（0）=1．當m=n時，f（2m）=f（m）f（m）=[f（m）]²＞0
①因為f（a）•f（-a）=f（a-a）=f（0）=1，所以①正確．
②設x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂+x₂）-f（x₂）=f（x₁-x₂）f（x₂）-f（x₂）=f（x₂）[f（x₁-x₂）-1]，
因為x₁＜x₂，所以x₁-x₂＜0，所以f（x₁-x₂）＞1，所以f（x₂）＞0，f（x₁-x₂）-1＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），所以f（x）在R上是遞減函數，所以②正確．
③當m=n時，f（2m）=f（m）f（m）=[f（m）]²≥0，所以不存在x₀，使f（x₀）＜0，所以③錯誤．
④由②知，f（x）在R上是遞減函數，所以f（2）＜f(

1

4

)，所以④錯誤．
故正確是①②．
故選B．

點評：本題主要考查抽象函數的應用，利用賦值法是解決抽象函數的基本方法，考查學生的分析能力．綜合性較強．