Question

已知點(diǎn)P在圓x²＋y²＝1上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為D，點(diǎn)M在DP的延長(zhǎng)線上，且有|DP|＝|MP|.(1)求M點(diǎn)的軌跡方程C；(2)已知直線l過(guò)點(diǎn)(0，)，且斜率為1，求l與C相交所得的弦長(zhǎng)．

Answer 1

(1) x² ＋＝1 (2)

此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，以及動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，涉及的知識(shí)有：直線與圓的交點(diǎn)，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，兩點(diǎn)間的距離公式，點(diǎn)到直線的距離公式，基本不等式的運(yùn)用，以及直線與圓相切時(shí)，圓心到直線的距離等于圓的半徑的性質(zhì)，利用了轉(zhuǎn)化及分類討論的思想，是一道綜合性較強(qiáng)的試題．
（1）設(shè)出M的坐標(biāo)為（x，y），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x₀，y₀），由題意DP⊥x軸，點(diǎn)M在DP的延長(zhǎng)線上，且|DP|＝|MP|，找出x₀與x的關(guān)系及y₀與y的關(guān)系，記作①，根據(jù)P在圓上，將P的坐標(biāo)代入圓的方程，記作②，將①代入②，即可得到點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）直線與圓聯(lián)立求解方程組，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系得到弦長(zhǎng)公式。
解：(1)設(shè)P(x₀,y₀)，M(x,y)，由題意知，   ……3分
又點(diǎn)P在圓x²＋y²＝1，可得M點(diǎn)的軌跡方程為x² ＋＝1． ……6分
(2)由(1)知聯(lián)立上式得4x²＋(x＋)²＝4,5x²＋2x－1＝0,可知必有D>0…8分
設(shè)l與C的交點(diǎn)為A(x₁，y₁), B(x₂，y₂)，則有x₁＋x₂ ＝－,  x₁x₂ ＝－．…10分
\|AB|＝|x₁－x₂|＝
＝＝＝． ……12分