Question

已知曲線C₁：（為參數），曲線C₂：（t為參數）．
（1）指出C₁，C₂各是什么曲線，并說明C₁與C₂公共點的個數；
（2）若把C₁，C₂上各點的縱坐標都拉伸為原來的兩倍，分別得到曲線．寫出的參數方程．與公共點的個數和C公共點的個數是否相同？說明你的理由．

Answer 1

（1）C1是圓，C2是直線。C2與C1有兩個公共點（2）C1′：，C2′：。有兩個公共點，C1與C2公共點個數相同

本試題主要是考查了參數方程與極坐標方程與普通方程的轉化，以及直線與橢圓的 位置關系的運用。
（1）結合已知的極坐標方程和參數方程，消去參數后得到普通方程，然后利用直線與圓的位置關系判定。
（2）拉伸后的參數方程分別為C1′：θ為參數）；
C2′：（t為參數）聯立消元得其判別式，
可知有公共點。
解：（1）C1是圓，C2是直線．C1的普通方程為，
圓心C1（0，0），半徑r=2．C2的普通方程為x-y-1=0．
因為圓心C1到直線x-y+ 1=0的距離為，
所以C2與C1有兩個公共點．
（2）拉伸后的參數方程分別為C1′：θ為參數）；C2′：（t為參數）
化為普通方程為：C1′：，C2′：
聯立消元得其判別式，
所以壓縮后的直線C2′與橢圓C1′仍然有兩個公共點，和C1與C2公共點個數相同