Question

（本小題8分）已知圓C: 及直

（1）證明：不論m取何值，直線l與圓C恒相交；
（2）求直線l被圓C截得的弦長最短時的直線方程．

Answer 1

 （1）見解析；（2）y=x-1。

本題考查直線與圓相交的證明，考查直線被圓截得的線段的最短長度以及此時直線的方程．考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數學思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．
解：由得
∴圓C的圓心為(2,3),半徑為2……………2分
（1）由得
由得
∴不論m取何值，直線l恒過點P(3,2)…………….4分
∵
∴點P(3,2)在圓C內……………3分
所以不論m取何值，直線l與圓C恒相交…………….5分
（2）當直線l垂直CP時，直線l被圓C截得的弦長最短
∵…………….7分
所以所求的直線方程為y=x-1…………….8分