Question

【題目】設函數f（x）= x2+ax﹣lnx（a∈R）．
（1）當a=1時，求函數f（x）的極值；
（2）當a＞1時，討論函數f（x）的單調性；
（3）若對任意a∈（3，4）及任意x1 ， x2∈[1，2]，恒有 m+ln2＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數的定義域為（0，+∞）

當a=1時，f（x）=x﹣lnx，則f′（x）=

令f′（x）＞0，可得x＜0或x＞1，∵x＞0，∴x＞1；

令f′（x）＜0，可得0＜x＜1，∵x＞0，∴0＜x＜1；

∴x=1時，函數f（x）取得極小值為1；

（2）解：f′（x）=

當 ，即a=2時， ，f（x）在（0，+∞）上是減函數；

當 ，即a＞2時，令f′（x）＜0，得 或x＞1；令f′（x）＞0，得

當 ，即1＜a＜2時，令f′（x）＜0，得0＜x＜1或x＞ ；令f′（x）＞0，得

綜上，當a=2時，f（x）在定義域上是減函數；

當a＞2時，f（x）在（0， ）和（1，+∞）上單調遞減，在（ ，1）上單調遞增；

當1＜a＜2時，f（x）在（0，1）和（ ，+∞）上單調遞減，在（1， ）上單調遞增；

（3）解：由（2）知，當a∈（3，4）時，f（x）在[1，2]上單調遞減

∴當x=1時，f（x）有最大值，當x=2時，f（x）有最小值

∴

∴對任意a∈（3，4），恒有

∴m＞

構造函數 ，則

∵a∈（3，4），∴

∴函數 在（3，4）上單調增

∴g（a）∈（0， ）

∴m≥

【解析】（1）確定函數的定義域，利用導數的正負，確定函數的單調性，從而可求函數的極值；（2）求導函數f′（x）= ，分類討論，利用導數的正負，確定函數的單調性；（3）由（2）知，當a∈（3，4）時，f（x）在[1，2]上單調遞減，從而可得 對任意a∈（3，4），恒有 ，等價于m＞ ，求出右邊函數的值域，即可求得結論．