Question

【題目】已知首項是1的兩個數列{an}，{bn}（bn≠0，n∈N*）滿足anbn+1﹣an+1bn+2bn+1bn=0．
（1）令cn= ，求數列{cn}的通項公式；
（2）若bn=3n﹣1 ， 求數列{an}的前n項和Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵anbn+1﹣an+1bn+2bn+1bn=0，cn= ，

∴cn﹣cn+1+2=0，

∴cn+1﹣cn=2，

∵首項是1的兩個數列{an}，{bn}，

∴數列{cn}是以1為首項，2為公差的等差數列，

∴cn=2n﹣1

（2）解：∵bn=3n﹣1，cn= ，

∴an=（2n﹣1）3n﹣1，

∴Sn=1×30+3×31+…+（2n﹣1）×3n﹣1，

∴3Sn=1×3+3×32+…+（2n﹣1）×3n，

∴﹣2Sn=1+2（31+…+3n﹣1）﹣（2n﹣1）3n，

∴Sn=（n﹣1）3n+1

【解析】（1）由anbn+1﹣an+1bn+2bn+1bn=0，cn= ，可得數列{cn}是以1為首項，2為公差的等差數列，即可求數列{cn}的通項公式；（2）用錯位相減法來求和．