Question

已知函數f(x)＝ax²＋bx(a≠0)的導函數f′(x)＝－2x＋7，數列{a_n}的前n項和為S_n，點P_n(n，S_n)(n∈N^*)均在函數y＝f(x)的圖象上，求數列{a_n}的通項公式及S_n的最大值．

Answer 1

a_n＝－2n＋8(n∈N^*)，當n＝3或n＝4時，S_n取得最大值12

由題意可知：∵f(x)＝ax²＋bx(a≠0)，∴f′(x)＝2ax＋b，由f′(x)＝－2x＋7對應相等可得a＝－1，b＝7，
∴可得f(x)＝－x²＋7x.因為點P_n(n，S_n)(n∈N^*)均在函數y＝f(x)的圖象上，所以有S_n＝－n²＋7n.
當n＝1時，a₁＝S₁＝6；
當n≥2時，a_n＝S_n－S_n－1＝－2n＋8，a₁＝6適合上式，
∴a_n＝－2n＋8(n∈N^*)．
令a_n＝－2n＋8≥0得n≤4，當n＝3或n＝4時，S_n取得最大值12.
綜上，a_n＝－2n＋8(n∈N^*)，當n＝3或n＝4時，S_n取得最大值12.