Question

【題目】已知兩個無窮數列分別滿足，，

其中，設數列的前項和分別為，

（1）若數列都為遞增數列，求數列的通項公式；

（2）若數列滿足：存在唯一的正整數（），使得，稱數列為“墜點數列”

①若數列為“5墜點數列”，求；

②若數列為“墜點數列”，數列為“墜點數列”，是否存在正整數，使得，若存在，求的最大值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1），（2）①②

【解析】

(1)∵數列都為遞增數列，

∴由遞推式可得,，

則數列為等差數列,數列從第二項起構成等比數列．

∴；

(2)①∵數列滿足：存在唯一的正整數k=5,使得,且，

∴數列必為1，3，5，7，5，7，9，11，…，即前4項為首項為1，公差為2的等差數列，從第5項開始為首項5，公差為2的等差數列，

故；

②∵，即，∴，而數列為“墜點數列”且，數列中有且只有兩個負項.假設存在正整數，使得，顯然，且為奇數，而中各項均為奇數，∴必為偶數. .

ⅰ.當時，，

當時，，故不存在，使得成立.

ⅱ.當時，，顯然不存在，使得成立.

ⅲ.當時，，當時，才存在，使得成立.所以.當時，，構造為1,3,1,3,5,7,9，…，為-1,2,4,8，-16,32，…，此時，所以的最大值為6.