Question

【題目】對于定義在區間的函數，定義：（），（），其中，表示函數在上的最小值，表示函數在上的最大值.

（1）若，，試寫出、的表達式；

（2）設且，函數，，如果與恰好為同一函數，求的取值范圍.

（3）若存在最小正整數，使得對任意的成立，則稱函數為上的“階收縮函數”，已知函數，，試判斷是否為上的“階收縮函數”，如果是，求出對應的，如果不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1），，，；（2）；（3）是，，理由見解析.

【解析】

（1）根據的最大值為，可得、的表達式。

（2）若與恰好為同一函數，只須在上是單調遞減，討論的取值由復合函數的單調性即可求解。

（3）根據函數在上的值域，寫出、的解析式，再由求出的范圍得到答案。

（1）由題意可得：，

（2）若 與恰好為同一函數，只須在上是單調遞減，

當時，令，則

由，則，對稱軸，根據復合函數的單調性顯然在為單調遞減，故成立。

當時，令，由，則，只需

化簡得，解得

綜上所述的取值范圍為

（3）

當時，，，；

當時，，，；

當時，，，

綜上所述：

故是上的“階收縮函數”， 且小正整數