Question

已知數列{a_n}為等差數列，且a₁+a_2n-1=2n，S_n為數列{}的前n項和，設f（n）=S_2n-S_n，
（1）比較f（n）與f（n+1）的大小；
（2）若g（x）=log₂x-12f（n）＜0，在x∈[a，b]且對任意n＞1，n∈N^*恒成立，求實數a，b滿足的條件．

Answer 1

解：（1）∵數列{a_n}為等差數列，且a₁+a_2n-1=2n，令n=1可得 a₁ =1，再令n=2可得a₂=2，故 a_n=n．
f（n+1）-f（n）=S_2（n+1）-S_n+1-[S_2n-S_n]=S_2（n+1）-S_2n-（S_n+1-S_n）
=a_2n+2+a_2n+1-a_n+1=-=＞0，
∴f（n+1）＞f（n）．（6分）
（2）由上知：{ f（n）}為遞增數列，必需 log₂x＜12 f（2）成立．（8分）
∵f（2）=S₄-S₂=，∴log₂x＜7，
∴0＜x＜128，∴0＜a＜b＜128．
分析：（1）由條件求出a₁ =1，a₂=2，可得a_n=n．化簡f（n+1）-f（n）=＞0，可得f（n+1）＞f（n）．
（2）由上知：{ f（n）}為遞增數列，必需 log₂x＜12 f（2）成立，求出f（2）=，可得log₂x＜7，求得0＜x＜128，
由此確定實數a，b滿足的條件．
點評：本題主要考查等差數列的定義和性質，數列與函數的綜合，函數的恒成立問題，體現了等價轉化的數學思想，屬于中檔題．