Question

已知f（x）=ax³+bx²+c的圖象經過點（0，1），且在x=1處的切線方程是y=x．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）求y=f（x）的單調遞增區間．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：綜合題,導數的概念及應用

分析：（1）由f（x）=ax³+bx²+c的圖象經過點（0，1），得c=1，由導數的幾何意義得f′（1）=3a+2b=1①，易求切點（1，1），代入函數解析式可得a+b+1=1②，聯立可解；
（2）解不等式f′（x）＞0可得增區間，注意寫成區間形式；

解答： 解：（1）f（x）=ax³+bx²+c的圖象經過點（0，1），則c=1，
f′（x）=3ax²+2bx，f′（1）=3a+2b=1①，
切點為（1，1），則f（x）=ax³+bx²+c的圖象經過點（1，1），
得a+b+1=1②，聯立①②解得a=1，b=-1，
∴f（x）=x³-x²+1；
（2）f′（x）=3x²-2x＞0得x＜0或x＞

2

3

，
單調遞增區間為（-∞，0），（

2

3

，+∞）．

點評：該題考查導數的幾何意義、利用導數研究函數的單調性，屬基礎題，正確理解導數的幾何意義及單調性與導數的關系是解題關鍵．