Question

如圖，在幾何體ABCDE中，BE⊥平面ABC，CD∥BE，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，且BE=AB=2，CD=1，點F是AE的中點．建立適當的空間直角坐標系，利用空間向量方法解答以下問題：
（Ⅰ）求證：DF∥平面ABC；
（Ⅱ）求AB與平面BDF所成角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）以點B為原點，

BA

，

BC

，

BE

所在的直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，證明

DF

=(1，-2，0)與平面ABC的一個法向量垂直，即可證明DF∥平面ABC；
（Ⅱ）求出平面BDF的一個法向量，利用向量的夾角公式，即可求AB與平面BDF所成角的正弦值．

解答： （Ⅰ）證明：依題得，以點B為原點，

BA

，

BC

，

BE

所在的直線分別為x，y，z軸，建立如圖的空間直角坐標系，…（1分）
則B（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），D（0，2，1），E（0，0，2），F（1，0，1），
所以

BD

=(0，2，1)，

DF

=(1，-2，0)．…（2分）
因為平面ABC的一個法向量為

BE

=(0，0，2)
又

DF

•

BE

=1×0+(-2)×0+0×2=0，
所以

DF

⊥

BE

又因為DF?平面ABC，
所以DF∥平面ABC．     …（8分）
（Ⅱ）解：設平面BDF的一個法向量為

n

=(x，y，z)，
則

n • BD =2y+z=0 n • DF =x-2y=0

即

x=2y z=-2y

，
取y=1，得，

n

=(2，1，-2)． …（10分）
又設AB與平面BDF所成的角為θ，

BA

=(2，0，0)，
則sinθ=|cos＜

n

，

BA

＞|=

| n • BA |

| n |•| BA |

=

|4+0+0|

9 • 4

=

2

3

，
故AB與平面BDF所成角的正弦值為

2

3

．…（15分）

點評：本題考查的知識點是向量法證明線面平行，求線面角，建立空間坐標系是解答的關鍵．