Question

在三棱錐S-ABC中，平面SAC⊥平面ABC，且△SAC是正三角形，O是AC的中點，D是AB的中點．
（Ⅰ） 求證：OD∥平面SBC；
（Ⅱ） 求證：SO⊥AB．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（I）由題設條件推導出OD是△ABC的中位線，進而利用線面平行的判定定理得到OD∥平面SBC；
（Ⅱ）由等邊三角形三線合一，可得SO⊥AC，結合面面垂直的性質定理可得SO⊥平面ABC，再由線面垂直的性質可得SO⊥AB．

解答： 證明：（I）∵O是AC的中點，D是AB的中點．
∴OD∥BC，
又∵OD?平面SBC，BC?平面SBC，
∴OD∥平面SBC；
（Ⅱ）∵△SAC是正三角形，O是AC的中點，
∴SO⊥AC，
又∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC=AC，SO?平面SAC，
∴SO⊥平面ABC，
又∵AB?平面ABC，
∴SO⊥AB

點評：本題考查直線與平面平行的證明，線面垂直的判定與性質，面面垂直的性質定理，解題時要認真審題，仔細解答，注意對空間線面關系判定及性質的合理運用．