Question

已知l₁為函數f（x）=x²（x∈[0，2]）在P（t，t²）（t∈（0，2））處的切線，l₂為x=2，f（x），l₁，l₂與x軸所圍成的圖形如圖所示．
（1）請用t表示S₁+S₂=g（t）；
（2）求g（t）的最小值．

Answer 1

考點：定積分

專題：導數的概念及應用

分析：（1）先求根據導數求出切線方程，再根據微積分基本定理，問題得以解決．
（2）先求導，根據導數來求函數的最值．

解答： 解：（1）∵f（x）=x²，
∴f′（x）=2x，
∴l₁為y-t²=2t（x-t），
即y=2tx-t²，它與x軸交于(

t

2

，0)，與l₂交于（2，4t-t²），
則g（t）=

∫

2 0

x2-

1

2

(2-

t

2

)(4t-t2)
=-

t3

4

+2t2-4t+

8

3

，（t∈（0，2））；
（2）g′(′t)=-

3t2

4

+4t-4=-

3

4

(t-4)(t-

4

3

)，
由g′（t）＞0（0＜t＜2）得t∈(

4

3

，2)，
∴g（x）在(

4

3

，2)上增，
由g′（t）＜0，（0＜t＜2）得t∈(0，

4

3

)，
∴g（x）在(0，

4

3

)上減，
∴gmin(x)=g(

4

3

)=

8

27

．

點評：本題主要考查了微積分基本定理和定積分的幾何意義．以及利用導數求函數的最值問題．