Question

已知0＜α＜β＜

π

2

，cos（α-β）=

5

13

，sinβ=

3

5

，
（1）求cos2β的值；     
（2）求sinα的值．

Answer 1

考點：兩角和與差的余弦函數,二倍角的余弦

專題：

分析：（1）利用倍角公式cos2β=1-2sin²β，代入求值；（2）拆角α=（α-β）+β，然后利用兩角和的正弦公式展開求解，使用平方關系式時注意判斷符號．

解答： 解：（1）cos2β=1-2sin²β=1-

32

25

=-

7

25

  
（2）因為0＜α＜β＜

π

2

所以α，β均為銳角
故-

π

2

＜α＜β＜0，α-β為第四象限角    
所以sin（α-β）=-

1-cos2(α-β)

=-

12

13

，
cosβ=

1-sin2β

=

4

5

 
所以sinα=sin[（α-β）+β]
=sin（α-β）cosβ+cos（α-β）sinβ
=-

33

65

．

點評：二倍角的余弦公式有三個，在使用時要根據條件選擇恰當的公式；在三角函數求值時要注意分析角的關系，用已知解表示要求的角．