Question

【題目】對于函數和，若存在區間，使在區間上恒成立，則稱區間是函數和的“公共鄰域”．設函數的反函數為，函數的圖像與函數的圖像關于點對稱．

（1）求函數和的解析式；

（2）若，求函數的定義域；

（3）是否存在實數，使得區間是和的“公共鄰域”，若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）存在，

【解析】

（1）將作為方程利用指數式和對數式的互化解出，然后確定原函數的值域即為反函數的定義域，再由對稱可得將換為，換為，即可得到所求的解析式；

（2）由對數的真數大于0，解不等式求交集，即可得到所求定義域；

（3）設，然后求出在閉區間，上的最小值與最大值，使最大值小于等于1，最小值大于等于，建立不等式組進行求解即可．

解：（1）設，則，

兩邊取對數得：，

所以；

由函數的圖象與函數的圖象 關于點對稱，

可得，即為；

（2），函數，

由，且，

可得，

則函數的定義域為；

（3）假設存在實數，使得區間，是和的“公共鄰域”，

因為，時，函數有意義，

所以，所以，

由區間，是和的“公共鄰域”，

可得，

設，

二次函數的對稱軸為，

所以在，上為增函數，

當時，取得最小值，當時取得最大值，

從而可得在閉區間，上的最小值與最大值分別為：

，，

當，時，恒有成立的充要條件為：

，即為，

解得．

則存在實數，且，

即時使得區間，是和的“公共鄰域”．