Question

【題目】已知點到拋物線C：y2=2px準線的距離為2．

（Ⅰ）求C的方程及焦點F的坐標；

（Ⅱ）設點P關于原點O的對稱點為點Q，過點Q作不經過點O的直線與C交于兩點A，B，直線PA，PB，分別交x軸于M，N兩點，求的值．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)C的方程為,焦點F的坐標為(1,0)；（Ⅱ）2

【解析】

（Ⅰ）根據拋物線定義求出p，即可求C的方程及焦點F的坐標；
（Ⅱ）設點A(x1,y1),B(x2,y2),由已知得Q(1,2)，由題意直線AB斜率存在且不為0，設直線AB的方程為y=k(x+1)2(k≠0)，與拋物線聯立可得ky2-4y+4k-8=0，利用韋達定理以及弦長公式，轉化求解|MF||NF|的值．

(Ⅰ)由已知得，所以p=2.

所以拋物線C的方程為,焦點F的坐標為(1,0)；

(II)設點A(x1,y1),B(x2,y2),由已知得Q(1,2)，

由題意直線AB斜率存在且不為0.

設直線AB的方程為y=k(x+1)2(k≠0).

由得，

則,.

因為點A,B在拋物線C上,所以

,.

因為PF⊥x軸，

所以

，

所以|MF||NF|的值為2.