Question

【題目】已知函數.

(1)討論的單調性；

(2)證明：.

Answer 1

【答案】(1)當時，在上單調遞減，在上單調遞增；當時，在上單調遞增，在上單調遞減；(2)證明見解析.

【解析】

(1)求導后分與兩種情況分析導數的正負從而求得原函數的單調性即可.

(2)根據(1)中的結論,求得最小值從而得出當時,,再構造函數式證明.或構造,求導后根據隱零點的方法證明.

(1)依題意,的定義域為,

,

當時,；當時,.

①當時,若,則；若,則.

所以在上單調遞減,在上單調遞增.

②當時,若,則；若,則.

所以在上單調遞增,在上單調遞減.

綜上,當時,在上單調遞減,在上單調遞增；

當時,在上單調遞增,在上單調遞減.

(2)法一：由(1)知,當時,,在上單調遞增,在上單調遞減,所以,

故當時,.

又當時,,

所以當時,,故,

所以.

(2)法二：令,則,

令,則為增函數,且

,,

所以有唯一的零點,,

所以當時,,為減函數；當時,為增函數.

所以.

由(1)知,當時,在上為減函數,在上為增函數,故

,即,

所以,

所以,故.