Question

【題目】已知函數.

（1）若的零點為2，求；

（2）若在上單調遞減，求的最小值；

（3）若對于任意的都有，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）； （2）； （3）.

【解析】

（1）由的零點為2，即，得到，即可求解實數的值；

（2）求得函數的定義域即函數的定義域為且，設，

根據復數函數的單調性，得到，即可求解；

（3）由（2）中函數的定義域，利用復合數函數的單調性，要使得對于任意的都有，得到，即可求解.

（1）由題意，函數，

因為的零點為2，即，所以，

即，則，即，解得.

（2）由，

可得函數滿足，解得且，

即函數的定義域為，

又由函數，

設，

要使得函數在上單調遞減，

根據復合函數的單調性，可得函數在上單調遞減，且在恒成立，

所以，解得或，

又因為，所以，即實數的最小值為.

（3）由（2）得，函數的定義域為且

根據復合函數的單調性，可得函數在區間上單調遞減，

要使得對于任意的都有，

可得，即，解得，

即實數的取值范圍是.