Question

【題目】已知函數在區間上是單調函數．

（1）求實數的所有取值組成的集合；

（2）試寫出在區間上的最大值；

（3）設，令，若對任意，總有，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）

【解析】

（1）因為為開口向上的二次函數，故其在對稱軸左邊單調遞減，對稱軸右邊單調遞增. 函數在區間上是單調函數，等價于區間在對稱軸的左邊或者右邊.列出不等式解出即可.

（2）討論在上的單調性，分別求出其最大值,再寫成分段函數的形式即可.

（3）根據題意寫出,對任意，總有等價于且，則分別討論與 的大小關系，找到其對應的與，代入即可解出答案.

解：（1）對稱軸.

所以或.

（2）①當 ，即時.

函數在上單調遞增.

所以.

②當，即時.

函數在上單調遞減.

所以.

綜上所述：.
（3）.

由題意得，，

畫出函數的圖像：

①當時，在單調遞減.

所以，.

代入，解得，舍.

②當時，在單調遞減，在上單調遞增. ，.

代入，解得，所以，

③當時，在單調遞減，在上單調遞增. ， .

代入，化簡得,解得或，

所以.

④當時，在單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增.

，.

代入，解得，所以，

⑤當時，在單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增.

，.

代入，解得，

綜上所述：.即 .