Question

（2012•遼寧）已知點P，A，B，C，D是球O表面上的點，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是邊長為2

3

正方形．若PA=2

6

，則△OAB的面積為

3

3

．

Answer 1

分析：可將P，A，B，C，D補全為長方體ANCD-A′B′C′D′，讓P與A′重合，則該長方體的對角線PC即為球O的直徑（球O為該長方體的外接球，于是可求得PC的長度，可判斷△OAB為等邊三角形，從而而求其面積．

解答：解：依題意，可將P，A，B，C，D補全為長方體ABCD-A′B′C′D′，讓P與A′重合，則球O為該長方體的外接球，長方體的對角線PC即為球O的直徑．
∵ABCD是邊長為2

3

正方形，PA⊥平面ABCD，PA=2

6

，
∴PC²=AP²+AC²=24+24=48，
∴2R=4

3

，R=OP=2

3

，
∴△OAB為邊長是2

3

的等邊三角形，
∴S_△OAB=

1

2

×2

3

×2

3

×sin60°
=3

3

．
故答案為：3

3

．

點評：本題考查直線與平面垂直的性質，考查球內接多面體的應用，“補形”是關鍵，考查分析、轉化與運算能力，屬于中檔題．