Question

（2012•遼寧）已知雙曲線x²-y²=1，點F₁，F₂為其兩個焦點，點P為雙曲線上一點，若PF₁⊥PF₂，則|PF₁|+|PF₂|的值為

2

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．

Answer 1

分析：根據雙曲線方程為x²-y²=1，可得焦距F₁F₂=2

2

，因為PF₁⊥PF₂，所以|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²．再結合雙曲線的定義，得到|PF₁|-|PF₂|=±2，最后聯解、配方，可得（|PF₁|+|PF₂|）²=12，從而得到|PF₁|+|PF₂|的值為2

3

．

解答：解：∵PF₁⊥PF₂，
∴|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²．
∵雙曲線方程為x²-y²=1，
∴a²=b²=1，c²=a²+b²=2，可得F₁F₂=2

2

∴|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²=8
又∵P為雙曲線x²-y²=1上一點，
∴|PF₁|-|PF₂|=±2a=±2，（|PF₁|-|PF₂|）²=4
因此（|PF₁|+|PF₂|）²=2（|PF₁|²+|PF₂|²）-（|PF₁|-|PF₂|）²=12
∴|PF₁|+|PF₂|的值為2

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故答案為：2

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點評：本題根據已知雙曲線上對兩個焦點的張角為直角的兩條焦半徑，求它們長度的和，著重考查了雙曲線的基本概念與簡單性質，屬于基礎題．