Question

【題目】若定義在[a，b]上的函數f（x）=x3﹣3x2+1的值域為[﹣3，1]，則b﹣a的最大值是 ．

Answer 1

【答案】4
【解析】解：∵函數f（x）=x3﹣3x2+1，∴f′（x）=3x2﹣6x=3x（x﹣2），
∴當x＜0時，f′（x）＞0，函數f（x）在（﹣∞，0）上單調遞增；
當0＜x＜2時，f′（x）＜0，函數f（x）在（0，2）上單調遞減；
當x＞2時，f′（x）＞0，函數f（x）在（2，+∞）上單調遞增．
∴當x=0時，f（x）有極大值，f（0）=1，
當x=2時，f（x）有極小值，f（2）=23﹣3×22+1=﹣3，
∵當f（x）=1時，x=0或x=3，
當f（x）=﹣3時，x=2或x=﹣1，
∴若﹣3≤f（x）≤1，則﹣1≤x≤3．
∴定義在[a，b]上的函數f（x）=x3﹣3x2+1的值域為[﹣3，1]，則b﹣a的最大值是1﹣（﹣3）=4．
所以答案是：4．
【考點精析】掌握函數的最大(小)值與導數是解答本題的根本，需要知道求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．