Question

【題目】已知函數．

（Ⅰ）若曲線在點處的切線與直線垂直，求的值；

（Ⅱ）若函數存在極值點，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：本題主要考查導數的運算、利用導數判斷函數的單調性、利用導數求函數的極值等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、轉化能力、計算能力.第一問，先對求導，將代入中，即得到切線的斜率，而兩直線垂直，則兩個斜率相乘為-1，解出a的值；第二問，先對求導，由于導數中有參數a，則討論和兩種情況，由于的解集為增區間， 的解集為減區間，計算單調區間，利用函數的單調性判斷極值點的位置，令極值點的橫坐標在之間，解不等式，解出a的取值范圍.

試題解析：（Ⅰ）由于， （2分）

又 ． （4分）

（Ⅱ），

①當時， ，函數在上單調遞增，無極值； （6分）

②當時，令即，

，

時，函數單調遞增； 時，函數單調遞減， （8分）

故是的極大值點．依題意： ， （10分）

解得： ，綜上所述， 的取值范圍為． （12分）