Question

【題目】如圖，已知四棱錐的底面為邊長為的菱形，為中點，連接.

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）若平面平面，且二面角的余弦值為，求四棱錐的體積.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)見證明；(Ⅱ)2.

【解析】

（Ⅰ）連接，在菱形中可得，又，進而可得平面，于是得到平面，所以可得結論成立．（Ⅱ）建立空間直角坐標系，設，二面角的余弦值為可得，即，然后根據椎體的體積公式求解即可．

（Ⅰ）連接，

∵菱形中，，

∴為等邊三角形，又為中點，

∴．

又，則，

又，

∴平面，

又，

∴平面，

又平面，

∴平面平面.

（Ⅱ）∵平面 平面，且交線為，，平面,

∴，

以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，

設，則，

則，

設平面的一個法向量為，

則，即，可取

又平面的法向量可取，

由題意得，

解得，即，

又菱形的面積，

∴四棱錐的體積為．