Question

已知某類型的高射炮在它們控制的區域內擊中具有某種速度敵機的概率為

1

5

．
（Ⅰ）假定有5門這種高射炮控制某個區域，求敵機進入這個區域后被擊中的概率；
（Ⅱ）要使敵機一旦進入這個區域內有90%以上的概率被擊中，至少需要布置幾門這類高射炮？（參考數據lg2=0.301，lg3=0.4771）

Answer 1

（Ⅰ）設敵機被各炮擊中的事件分別記為A₁、A₂、A₃、A₄、A₅，
那么5門炮都未擊中敵機的事件為

.

C

=

.

A1

•

.

A2

•

.

A3

•

.

A4

•

.

A5

，
因各炮射擊的結果是相互獨立的，
所以P(

.

C

)=P(

.

A1

)•P(

.

A2

)•P(

.

A3

)•P(

.

A4

)•P(

.

A5

)=[P(

.

A

)]5=[1-P(A)]5=(1-

1

5

)5=(

4

5

)5
因此敵機被擊中的概率為P(C)=1-P(

.

C

)=1-(

4

5

)5=

2101

3125

．
（Ⅱ）設至少需要置n門高射炮才能有90%以上的概率擊中敵機，
由①可知1-(

4

5

)n＞

9

10

，即(

4

5

)n＜

1

10

，
兩邊取常用對數，得n＞

1

1-3lg2

≈

1

1-3×0.3010

≈10.3，
∴n≥11．
即至少需要布置11門高射炮才能有90%以上的概率擊中敵機．