Question

【題目】如圖，四棱錐中，，平面底面，，，是中點(diǎn).

（1）證明：直線平面；

（2）點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，求二面角的大小.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）取中點(diǎn)，連接，，證出，利用線面平行的判定定理即可證出.

（2）不妨設(shè)，則，，取中點(diǎn)，得，，以為原點(diǎn)，以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量與平面的一個(gè)法向量，利用空間向量的數(shù)量積即可求解.

證明：（1）如圖，取中點(diǎn)，連接，，

因?yàn)?/span>為中位線，

所以且，

又因?yàn)?/span>且，

所以且，

所以四邊形為平行四邊形，所以，

又因?yàn)?/span>平面，平面，

所以平面.

（2）不妨設(shè)，則，，取中點(diǎn)，

所以，

又因?yàn)?/span>，，

所以四邊形為矩形，

所以，，

平面平面，所以平面，

，

又因?yàn)槿�角�?/span>為正三角形，

所以，

故如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

可得，，，，，，

所以，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，可取，

易知平面的一個(gè)法向量，

所以，又知二面角為銳角，

則二面角的大小為.